Solución 1: evaluando la expresión para el término geneal \(a_n=a_1+(n-1)d\) entonces \(a_{10}=a_1+(10-1)d,\) así que si se conocen los valores de \(a_1=14\) y la distancia \(d=9-4\) basta con sustituir. \begin{align} &a_{10}= a_1+(10-1)d\\ &a_{10}=4+(9)5\\ &a_{10}=4+45\\ &a_{10}=49\end{align}

Solución 2. como \(\{a_n\}=16,\ 33/2,\ 17,\ 35/2,\ldots \) de la expresión \(a_n=a_1+(n-1)d\) el venteavo término está dado por, \begin{align} &a_{20}=16+19\left(\frac{1}{2}\right)\\ &a_{20}=\frac{2(16)+19}{2}\\ &a_{20}=\frac{51}{2}\end{align}

Solución 1: se pide hallar \(a_1\) de la progresión, por tanto se debe pensar en la forma estándar \(\{a_n\}= a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots a_n\) una manera de dar solución al problema es escribir el número conocido y comenzar a restar la distancia (5) es decir:
\(a_{15}=75;~~ a_{14}=a_{15}-5=70;~~a_{13}=a_{14}-5=70-5=65\) y así sucesivamente, hasta llegar a la posición de \(a_1=5\), pero cuidado con esto, aunque la forma de encontrar la solución es muy ingeniosa si piense en el caso de que el valor conocido sea \(a_{1000}\) ¿haría la resta mil veces?
Solución 2: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para \(n=15\) y \(d=5\). \begin{align} &75=a_1+(15-1)5\\ &75=a_1+(14)5\\ &a_1=75-70\\ &a_1=5\end{align} Esta es la manera recomendada de dar solución a la situación

Solución: de \(a_n=a_1+(n-1)d\) entonces \(a_9=a_1+8d\), pero el hecho es que no se tiene el valor de \(a_1\). Utilizando la expresión alternativa \(a_n=a_k+(n-k)d\) donde \(n=9;~~a_k=75;~~k=15\) y \(d=5\) se tiene que: \begin{align} &a_9=75+(9-15)5\\ &a_9=75+(-6)5\\ &a_9=75-30\\ &a_9=45\end{align}

Solución: de la expresión \(a_n= a_1+(n-1)d\) se obtiene, \begin{align} &a_9=a_1+(9-1)d\\ &45=5+(8)d\\ &d=\frac{45-5}{8}\\ &d=\frac{40}{8}=5\end{align}

Solución: de \(a_n=a_1+(n-1)d\) se tiene \(a_{1000}=a_1+999d\) el hecho está, en que no se conocen \(a_1\) ni \(d\). De los datos de ejercicio se tienen \(a_{14}=67\) y \(a_{22}=107\) de dónde se puede escribir: $$a_{14}=a_1+(14-1)d~~~{\rm y}~~~a_{22}=a_1+(22-1)d.$$ Sustituyendo \(a_{14}~~{\rm y}~~a_{22}\) por sus valores se forma el sistema: $$\left\{\begin{array}aa_1+ 13d=67~~~~~~~~~(1)\\a_1+ 21d=107~~~~~~~(2)\end{array}\right.$$ Resolviendo por reducción se tiene:
$$\begin{matrix}-a_1-13d=-67~~\\~\underline{a_1+ 21d=107}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8d=40 \Longrightarrow d=5 \end{matrix}$$ Sustituyendo \(d=5\) en cualquiera de las ecuaciones \((1)\) o \((2)\), se tiene que \(a_1=2\) y sustituyendo con estos valores en \(a_{1000}= a_1+999d\) se concluye que, \(a_{1000}=2+999(5)=4997\).

Solución: $$\left\{\begin{array}1a_2+a_4=22\\a_3+a_7=34\end{array}~~ {\rm que~como~ya~se~sabe}~\left\{\begin{array}1a_2=a_1+d\\a_3=a_1+2d\\a_4=a_1+3d\\a_7=a_1+6d\end{array}\right.\right.$$ Sustituyendo estos valores en el sistema anterior se tiene un nuevo sistema: $$\left\{\begin{array}2a_1+4d=22\\2a+8d=34\end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}aa_1=5\\d=3\end{array}\right.\right.$$ Determinandos los valores deseados se tiene: $$\left\{\begin{array}1a_2+a_4=22\\a_3+a_7=34\end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}1a_2=a_1+d=8\\a_3=a_1+2d=11\\a_4=a_1+3d=14\\a_7=a_1+6d=23\end{array}\right.\right.$$

Solución: se pude calcular la suma utilizando cualquiera de las fórmulas $$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} \ \ \ \ (*) \ \ \ \ S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]\ \ \ \ (**)$$ y el resultado será el mismo, sin embargo para usar \((*)\) es necesario conocer \(a_{20}\). La manera más fácil es usando \((**)\) como sigue. \begin{align} &S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]\\ &S_{20}=\frac{20}{2}\left(2\left(17\right)+(20-1)4\right)\\ &S_{20}=10(34+19(4))\\ &S_{20}=10(34+76)\\ &S_{20}=10(110)\\ &S_{20}=1100\end{align} Por su puesto que se pueden sumar los términos sin usar fórmulas, pero sería muy tedioso hallar la suma, si se pide por ejemplo la suma de los primeros 1000.

Solución. aplicando las expresión conocida \begin{align} &S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]\\ &S_{1000}=\frac{1000}{2}\left[2\left(\frac12\right)+(1000-1)\left(\frac12\right)\right]\\ &S_{1000}=500\left[1+(999)\frac{1}{2}\right]\\ &S_{1000}=250\ 250\end{align}

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